Aufgaben

Aufgabe 1:
Kürze die folgenden Bruchzahlen so weit wie möglich.
a) 8 ⁄ 14 b) 4 ⁄ 26 c) 10 ⁄ 26 d) 9 ⁄ 15
e) 20 ⁄ 28 f) 12 ⁄ 18 g) 12 ⁄ 28 h) 9 ⁄ 12

Aufgabe 2:
Schreibe die folgenden Bruchzahlen als gemischte Zahlen.
a) 35 ⁄ 21 b) 35 ⁄ 14 c) 15 ⁄ 6 d) 22 ⁄ 4
e) 33 ⁄ 9 f) 42 ⁄ 15 g) 33 ⁄ 15 h) 44 ⁄ 18

Aufgabe 3:
Ordne die folgenden Bruchzahlen nach der Größe.
a) 8 ⁄ 24 b) 28 ⁄ 30 c) 12 ⁄ 30 d) 4 ⁄ 8
e) 4 ⁄ 10 f) 6 ⁄ 30 g) 24 ⁄ 30 h) 3 ⁄ 18

Aufgabe 4:
Addiere die Bruchzahlen und kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
a) 11 ⁄ 24 + 5 ⁄ 8 b) 13 ⁄ 18 + 7 ⁄ 9 c) 19 ⁄ 21 + 2 ⁄ 3 d) 23 ⁄ 24 + 5 ⁄ 12
e) 25 ⁄ 26 + 1 ⁄ 2 f) 27 ⁄ 28 + 2 ⁄ 7 g) 5 ⁄ 12 + 3 ⁄ 4 h) 9 ⁄ 10 + 1 ⁄ 2

Aufgabe 5:
Substrahiere die Bruchzahlen und kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
a) 3 ⁄ 4 - 9 ⁄ 20 b) 8 ⁄ 9 - 1 ⁄ 18 c) 7 ⁄ 10 - 9 ⁄ 20 d) 5 ⁄ 6 - 13 ⁄ 30
e) 3 ⁄ 4 - 11 ⁄ 20 f) 5 ⁄ 6 - 7 ⁄ 12 g) 14 ⁄ 15 - 1 ⁄ 30 h) 2 ⁄ 3 - 8 ⁄ 21

Aufgabe 6:
Multipliziere die Bruchzahlen und kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
a) 2 ⁄ 3 · 3 ⁄ 4 b) 2 ⁄ 3 · 5 ⁄ 8 c) 2 ⁄ 5 · 3 ⁄ 10 d) 2 ⁄ 5 · 3 ⁄ 4
e) 2 ⁄ 7 · 5 ⁄ 8 f) 2 ⁄ 9 · 15 ⁄ 16 g) 3 ⁄ 4 · 7 ⁄ 9 h) 4 ⁄ 9 · 5 ⁄ 6

Aufgabe 7:
Dividiere die Bruchzahlen und kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
a) 3 ⁄ 35 : 3 ⁄ 10 b) 1 ⁄ 6 : 2 ⁄ 9 c) 1 ⁄ 6 : 3 ⁄ 8 d) 6 ⁄ 25 : 4 ⁄ 5
e) 1 ⁄ 2 : 7 ⁄ 8 f) 5 ⁄ 18 : 4 ⁄ 9 g) 9 ⁄ 14 : 9 ⁄ 10 h) 16 ⁄ 21 : 8 ⁄ 9

Lösungen

Aufgabe 1:
a) 8 ⁄ 14 = (2 · 4) ⁄ (2 · 7) = 4 ⁄ 7
b) 4 ⁄ 26 = (2 · 2) ⁄ (2 · 13) = 2 ⁄ 13
c) 10 ⁄ 26 = (2 · 5) ⁄ (2 · 13) = 5 ⁄ 13
d) 9 ⁄ 15 = (3 · 3) ⁄ (3 · 5) = 3 ⁄ 5
e) 20 ⁄ 28 = (4 · 5) ⁄ (4 · 7) = 5 ⁄ 7
f) 12 ⁄ 18 = (6 · 2) ⁄ (6 · 3) = 2 ⁄ 3
g) 12 ⁄ 28 = (4 · 3) ⁄ (4 · 7) = 3 ⁄ 7
h) 9 ⁄ 12 = (3 · 3) ⁄ (3 · 4) = 3 ⁄ 4

Aufgabe 2:
a) 35 ⁄ 21 = (7 · 5) ⁄ (7 · 3) = 5 ⁄ 3 = 1 (2 ⁄ 3)
b) 35 ⁄ 14 = (7 · 5) ⁄ (7 · 2) = 5 ⁄ 2 = 2 (1 ⁄ 2)
c) 15 ⁄ 6 = (3 · 5) / (3 · 2) = 5 ⁄ 2 = 2 (1 ⁄ 2)
d) 22 ⁄ 4 = (2 · 11) ⁄ (2 · 2) = 11 ⁄ 2 = 5 (1 ⁄ 2)
e) 33 ⁄ 9 = (3 · 11) ⁄ (3 · 3) = 11 / 3 = 3 (2 ⁄ 3)
f) 42 ⁄ 15 = (3 · 14) ⁄ (3 · 5) = 14 ⁄ 5 = 2 (4 ⁄ 5)
g) 33 ⁄ 15 = (3 · 11) ⁄ (3 · 5) = 11 ⁄ 5 = 2 (1 ⁄ 5)
h) 44 ⁄ 18 = (2 · 22) ⁄ (2 · 9) = 22 ⁄ 9 = 2 (4 ⁄ 9)

Aufgabe 3:
Zuerst werden die Bruchzahlen so weit wie möglich gekürzt.
a) 8 ⁄ 24 = (8 · 1) ⁄ (8 · 3) = 1 ⁄ 3
b) 28 ⁄ 30 = (2 · 14) ⁄ (2 · 15) = 14 ⁄ 15
c) 12 ⁄ 30 = (6 · 2) ⁄ (6 · 5) = 2 ⁄ 5
d) 4 ⁄ 8 = (4 · 1) ⁄ (4 · 2) = 1 ⁄ 2
e) 4 ⁄ 10 = (2 · 2) ⁄ (2 · 5) = 2 ⁄ 5
f) 6 ⁄ 30 = (6 · 1) ⁄ (6 · 5) = 1 ⁄ 5
g) 24 ⁄ 30 = (6 · 4) ⁄ (6 · 5) = 4 ⁄ 5
h) 3 ⁄ 18 = (3 · 1) ⁄ (3 · 6) = 1 ⁄ 6

Dann den Hauptnenner mit zum Beispiel Primfaktorzerlegung bestimmen. Hier ist der Hauptnenner 30. Die Brüche werden im zweiten Rechenschritt auf 30 erweitert. Hier nur der Vollständigkeit wegen bei allen.

a') 1 ⁄ 3 = (1 · 10) ⁄ (3 · 10) = 10 ⁄ 30
b') 14 ⁄ 15 = (14 · 2) ⁄ (15 · 2) = 28 ⁄ 30
c') 2 ⁄ 5 = (2 · 6) ⁄ (5 · 6) = 12 ⁄ 30
d') 1 ⁄ 2 = (1 · 15) ⁄ (2 · 15) = 15 ⁄ 30
e') 2 ⁄ 5 = (2 · 6) ⁄ (5 · 6) = 12 ⁄ 30
f') 1 ⁄ 5 = (1 · 6) ⁄ (5 · 6) = 6 ⁄ 30
g') 4 ⁄ 5 = (4 · 6) ⁄ (5 · 6) = 24 ⁄ 30
h') 1 ⁄ 6 = (1 · 5) ⁄ (6 · 5) = 5 ⁄ 30

Jetzt werden die Bruchzahlen der Größe nach sortiert.
b') > g') > d') > c') = e') > a') > f') > h')
28 ⁄ 30 > 24 ⁄ 30 > 4 ⁄ 8 > 12 ⁄ 30 = 4 ⁄ 10 > 8 ⁄ 24 > 6 ⁄ 30 > 3 ⁄ 18

Aufgabe 4:
a) 11 ⁄ 24 + 5 ⁄ 8 = 11 ⁄ 24 + (5 · 3) ⁄ (8 · 3) = 11 ⁄ 24 + 15 ⁄ 24 = 26 ⁄ 24 = 13 ⁄ 12 = 1 (1 ⁄ 12)
b) 13 ⁄ 18 + 7 ⁄ 9 = 13 ⁄ 18 + (7 · 2) ⁄ (9 · 2) = 13 ⁄ 18 + 14 ⁄ 18 = 27 ⁄ 18 = 3 ⁄ 2 = 1 (1 ⁄ 2)
c) 19 ⁄ 21 + 2 ⁄ 3 = 19 ⁄ 21 + (2 · 7) ⁄ (3 · 7) = 19 ⁄ 21 + 14 ⁄ 21 = 33 ⁄ 21 = 11 ⁄ 7 = 1 (4 ⁄ 7)
d) 23 ⁄ 24 + 5 ⁄ 12 = 23 ⁄ 24 + (5 · 2) ⁄ (12 · 2) = 23 ⁄ 24 + 10 ⁄ 24 = 33 ⁄ 24 = 11 ⁄ 8 = 1 (3 ⁄ 8)
e) 25 ⁄ 26 + 1 ⁄ 2 = 25 ⁄ 26 + (1 · 13) ⁄ (2 · 13) = 25 ⁄ 26 + 13 ⁄ 26 = 38 ⁄ 26 = 19 ⁄ 13 = 1 (6 ⁄ 13)
f) 27 ⁄ 28 + 2 ⁄ 7 = 27 ⁄ 28 + (2 · 4) ⁄ (7 · 4) = 27 ⁄ 28 + 8 ⁄ 28 = 35 ⁄ 28 = 5 ⁄ 4 = 1 (1 ⁄ 4)
g) 5 ⁄ 12 + 3 ⁄ 4 = 5 ⁄ 12 + (3 · 3) ⁄ (4 · 3) = 5 ⁄ 12 + 9 ⁄ 12 = 14 ⁄ 12 = 7 ⁄ 6 = 1 (1 ⁄ 6)
h) 9 ⁄ 10 + 1 ⁄ 2 = 9 ⁄ 10 + (1 · 5) ⁄ (2 · 5) = 9 ⁄ 10 + 5 ⁄ 10 = 14 ⁄ 10 = 7 ⁄ 5 = 1 (2 ⁄ 5)

Aufgabe 5:
a) 3 ⁄ 4 - 9 ⁄ 20 = (3 · 5) ⁄ (4 · 5) - 9 ⁄ 20 = 15 ⁄ 20 - 9 ⁄ 20 = 6 ⁄ 20 = 3 ⁄ 10
b) 8 ⁄ 9 - 1 ⁄ 18 = (8 · 2) ⁄ (9 · 2) - 1 ⁄ 18 = 16 ⁄ 18 - 1 ⁄ 18 = 15 ⁄ 18 = 5 ⁄ 6
c) 7 ⁄ 10 - 9 ⁄ 20 = (7 · 2) ⁄ (10 · 2) - 9 ⁄ 20 = 14 ⁄ 20 - 9 ⁄ 20 = 5 ⁄ 20 = 1 ⁄ 4
d) 5 ⁄ 6 - 13 ⁄ 30 = (5 · 5) ⁄ (6 · 5) - 13 ⁄ 30 = 25 ⁄ 30 - 13 ⁄ 30 = 12 ⁄ 30 = 2 ⁄ 5
e) 3 ⁄ 4 - 11 ⁄ 20 = (3 · 5) ⁄ (4 · 5) - 11 ⁄ 20 = 15 ⁄ 20 - 11 ⁄ 20 = 4 ⁄ 20 = 1 ⁄ 5
f) 5 ⁄ 6 - 7 ⁄ 12 = (5 · 2) ⁄ (6 · 2) - 7 ⁄ 12 = 10 ⁄ 12 - 7 ⁄ 12 = 3 ⁄ 12 = 1 ⁄ 4
g) 14 ⁄ 15 - 1 ⁄ 30 = (14 · 2) ⁄ (15 · 2) - 1 ⁄ 30 = 28 ⁄ 30 - 1 ⁄ 30 = 27 ⁄ 30 = 9 ⁄ 10
h) 2 ⁄ 3 - 8 ⁄ 21 = (2 · 7) ⁄ (3 · 7) - 8 ⁄ 21 = 14 ⁄ 21 - 8 ⁄ 21 = 6 ⁄ 21 = 2 ⁄ 7

Aufgabe 6:
a) 2 ⁄ 3 · 3 ⁄ 4 = (2 · 3) ⁄ (3 · 4) = (1 · 3) ⁄ (3 · 2) = (1 · 1) ⁄ (1 · 2) = 1 ⁄ 2
b) 2 ⁄ 3 · 5 ⁄ 8 = (2 · 5) ⁄ (3 · 8) = (1 · 5) ⁄ (3 · 4) = 5 ⁄ 12
c) 2 ⁄ 5 · 3 ⁄ 10 = (2 · 3) ⁄ (5 · 10) = (1 · 3) ⁄ (5 · 5) = 3 ⁄ 25
d) 2 ⁄ 5 · 3 ⁄ 4 = (2 · 3) ⁄ (5 · 4) = (1 · 3) ⁄ ( 5 · 2) = 3 ⁄ 10
e) 2 ⁄ 7 · 5 ⁄ 8 = (2 · 5) ⁄ (7 · 8) = (1 · 5) ⁄ (7 · 4) = 5 ⁄ 28
f) 2 ⁄ 9 · 15 ⁄ 16 = (2 · 15) ⁄ (9 · 16) = (1 · 15) ⁄ (9 · 8) = (1 · 5) ⁄ (3 · 8) = 5 ⁄ 24
g) 3 ⁄ 4 · 7 ⁄ 9 = (3 · 7) ⁄ (4 · 9) = (1 · 7) ⁄ (4 · 3) = 7 ⁄ 12
h) 4 ⁄ 9 · 5 ⁄ 6 = (4 · 5) ⁄ (9 · 6) = (2 · 5) ⁄ (9 · 3) = 10 ⁄ 27

Aufgabe 7:
Eine Möglichkeit zwei Bruchzahlen zu dividieren ist das Multiplizieren mit dem Kehrwert.

a) 3 ⁄ 35 : 3 ⁄ 10 = (3 ⁄ 35) · (10 ⁄ 3) = (3 · 10) ⁄ (35 · 3) = (1 · 10) ⁄ (35 · 1) = (1 · 2) ⁄ (7 · 1) = 2 ⁄ 7
b) 1 ⁄ 6 : 2 ⁄ 9 = (1 ⁄ 6) · (9 ⁄ 2) = (1 · 9) ⁄ (6 · 2) = (1 · 3) ⁄ (2 · 2) = 3 ⁄ 4
c) 1 ⁄ 6 : 3 ⁄ 8 = (1 ⁄ 6) · (8 ⁄ 3) = (1 · 8) ⁄ (6 · 3) = (1 · 4) ⁄ (3 · 3) = 4 ⁄ 9
d) 6 ⁄ 25 : 4 ⁄ 5 = (6 ⁄ 25) · (5 ⁄ 4) = (6 · 5) ⁄ (25 · 4) = (3 · 5) ⁄ (25 · 2) = (3 · 1) ⁄ (5 · 2) = 3 ⁄ 10
e) 1 ⁄ 2 : 7 ⁄ 8 = (1 ⁄ 2) · (8 ⁄ 7) = (1 · 8) ⁄ (2 · 7) = (1 · 4) ⁄ (1 · 7) = 4 ⁄ 7
f) 5 ⁄ 18 : 4 ⁄ 9 = (5 ⁄ 18) · (9 ⁄ 4) = (5 · 9) ⁄ (18 · 4) = (5 · 1) ⁄ (2 · 4) = 5 ⁄ 8
g) 9 ⁄ 14 : 9 ⁄ 10 = (9 ⁄ 14) · (10 ⁄ 9) = (9 · 10) ⁄ ( 14 · 9) = (9 · 5) ⁄ (7 · 9) = (1 · 5) ⁄ (7 · 1) = 5 ⁄ 7
h) 16 ⁄ 21 : 8 ⁄ 9 = (16 ⁄ 21) · (9 ⁄ 8) = (16 · 9) ⁄ (21 · 8) = (16 · 3) ⁄ (7 · 8) = (2 · 3) ⁄ (7 · 1) = 6 ⁄ 7