Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n2 - n ist durch 2 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
12 - 1 = 0 Und 0 ist eine gerade Zahl
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n2 - n ist eine gerade Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
(n+1)2 - (n+1)
=
n2 + 2n + 1 - n - 1
=
(n2 - n) + 2 n

da nach Induktionsvoraussetzung (n2 -n) eine gerade Zahl ist und 2n ein ganzzahliges Vielfaches von 2 ist, ist auch die Summe (n2 - n) + 2n eine gerade Zahl.


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