Defekte Teile Aufgabe 1

Aufgabe

Eine Firma produziert insgesamt 350 elektronische Bauteile des gleichen Typs. Aus langjähriger Erfahrung weiß man das davon jedes 70te defekt ist. Um die Qualität zu prüfen untersucht der Käufer der Bauteile eine Stichprobe. Dazu werden zufällig 20 Bauteile heraus genommen und untersucht. Wenn mehr als ein defektes Bauteil gefunden wird, wird die Sendung zurückgeschickt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Warensendung wieder zurück geschickt wird?

Lösungen

350 elektronische Bauteile von denen 5 (= 350 / 70) defekt sind und 345 funktionieren. Stichprobe im Umfang von 20 Stück.
Hypergeometrische Verteilung mit N = 350, M = 5, n = 20 und k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

h(k|N,M,n) = (Mk)(N - Mn -k) ⁄ (Nn)

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ob mehr als 1 defektes Bauteil in der Stichprobe sind, wird zuerst die Wahrscheinlichkeit das kein defektes enthalten ist bestimmt. Und anschliesend die Wahrscheinlichkeit das genau ein defektes enthalten ist. Diese zwei Wahrscheinlichkeiten werden von der Gesamtwahrscheinlichkeit (=1) abgezogen und man erhält die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

h(0|350,5,20) = (50)(34520) ⁄ (35020) = (345! ⁄ (20! · 325!)) · ((20! · 330!) ⁄ 350!) ≈ 0,74382


h(1|350,5,20) = 5 · (51)(34519) ⁄ (35020) = (345! ⁄ (19! · 326!)) · ((20! · 330!) ⁄ 350!) ≈ 0,22817

P(k > 1) = 1 - P(k = 0) - P(k = 1)
P(k > 1) ≈ 1 - 0,74382 - 0,22817
P(k > 1) ≈ 0,02801

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lieferung zurückgesandt wird beträgt ca. 2,8 %.

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