Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n2 + 3n ist durch 2 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
12 + 3 = 4 Und 4 ist eine gerade Zahl
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n2 + 3n ist eine gerade Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
(n+1)2 + 3(n+1)
=
n2 + 2n + 1 + 3n + 3
=
(n2 + n) + 4n +4
=
(n2 + n) + 4(n + 1)

da nach Induktionsvoraussetzung (n2 + 3n) eine gerade Zahl ist und 4(n + 1) ein ganzzahliges Vielfaches von 4 ist, und damit sowohl durch 4 wie auch 2 teilbar ist, ist auch die Summe (n2 + n) + 2(n+1) eine gerade Zahl.


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