Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 4n
3 +2 n ist durch 3 teilbar für jedes n ∈ N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
4 ·12 + 2 = 6 Und 6 ist durch drei teilbar. |
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Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 4n
3 +2 n ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
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4 (n3 + 3n2 + 3n + 1) + 2n + 2 |
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(4 n3 + 2n) + 12 n2 + 12 n + 6 |
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(4 n3 + 2n) + 6(2n2 + 2n + 1) |
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nach IV ist (4 n
3 + 2n) durch drei teilbar. Und 6(2n
2 + 2n + 1) ist als ganzzahlig vielfaches von 6 auch durch drei teilbar.