Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 4n3 +2 n ist durch 3 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
4 ·12 + 2 = 6 Und 6 ist durch drei teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 4n3 +2 n ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
4 (n+1)3 + 2 (n+1)
=
4 (n3 + 3n2 + 3n + 1) + 2n + 2
=
(4 n3 + 2n) + 12 n2 + 12 n + 6
=
(4 n3 + 2n) + 6(2n2 + 2n + 1)

nach IV ist (4 n3 + 2n) durch drei teilbar. Und 6(2n2 + 2n + 1) ist als ganzzahlig vielfaches von 6 auch durch drei teilbar.



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