Grundlagen der Bruchrechnung

Die Bruchrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik, der das Verständnis und die Manipulation von Brüchen umfasst. Ein Bruch stellt einen Anteil eines Ganzen dar und besteht aus einem Zähler und einem Nenner. In diesem Abschnitt werden wir die grundlegenden Konzepte und Operationen der Bruchrechnung untersuchen und einige praktische Beispiele betrachten.

1. Aufbau eines Bruchs

Ein Bruch wird durch zwei Zahlen dargestellt: den Zähler und den Nenner, die durch einen Bruchstrich getrennt sind.

• Zähler: Die obere Zahl, die angibt, wie viele Teile genommen werden.
• Nenner: Die untere Zahl, die angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird.
• Bruchstrich: Die Linie, die den Zähler vom Nenner trennt.

Beispiel: Der Bruch $\frac{3}{4}$ besteht aus dem Zähler 3 und dem Nenner 4 und stellt drei Viertel eines Ganzen dar.

2. Arten von Brüchen

• Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner als der Nenner (z.B. $\frac{3}{4}$).
• Unechte Brüche: Der Zähler ist größer oder gleich dem Nenner (z.B. $\frac{5}{4}$ oder $\frac{4}{4}$).
• Gemischte Zahlen: Eine Kombination aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch (z.B. $1 \frac{1}{2}$).

3. Umwandlung von Brüchen

• Unechter Bruch in gemischte Zahl: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um die ganze Zahl zu erhalten, und verwenden Sie den Rest als neuen Zähler des Bruchs.

  • Beispiel: $\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$

• Gemischte Zahl in unechten Bruch: Multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Nenner und addieren Sie den Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

  • Beispiel: $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $

4. Brüche kürzen und erweitern

• Kürzen: Dividieren Sie den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT).

  • Beispiel: $\frac{8}{12}$ kann durch 4 gekürzt werden: $\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

• Erweitern: Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl.

  • Beispiel: $\frac{2}{3}$ kann durch 4 erweitert werden: $\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$

5. Addition und Subtraktion von Brüchen

• Gleicher Nenner: Addieren oder subtrahieren Sie die Zähler und behalten Sie den Nenner bei.

  • Beispiel: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$

• Ungleicher Nenner: Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV), erweitern Sie die Brüche entsprechend und addieren oder subtrahieren Sie dann die Zähler.

  • Beispiel: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
    • Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12.
    • $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ und $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$
    • $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

6. Multiplikation und Division von Brüchen

• Multiplikation: Multiplizieren Sie die Zähler und die Nenner miteinander.

  • Beispiel: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

• Division: Multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert (reziproken Wert) des zweiten Bruchs.

  • Beispiel: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12}$
  • Kürzen: $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

7. Vergleich von Brüchen

• Gleicher Nenner: Vergleichen Sie die Zähler.

  • Beispiel: $\frac{3}{8}$ ist kleiner als $\frac{5}{8}$ weil 3 < 5.

• Ungleicher Nenner: Finden Sie einen gemeinsamen Nenner und vergleichen Sie dann die Zähler.

  • Beispiel: $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$
    • Gemeinsamer Nenner: 12
    • $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ und $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
    • $\frac{8}{12}$ ist kleiner als $\frac{9}{12}$ weil 8 < 9.

8. Dezimalbrüche und Prozente

• Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner.

  • Beispiel: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$

• Umwandlung von Brüchen in Prozente: Multiplizieren Sie den Bruch mit 100.

  • Beispiel: $\frac{3}{4} \times 100 = 75\%$

Spiel zum Thema Bruchrechnung

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