Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch $\frac{a}{b}$ dargestellt werden können, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind und $b \neq 0$. Sie haben eine nicht endende und nicht periodische Dezimaldarstellung. Beispiele für irrationale Zahlen sind $\sqrt{2}$, $\pi$, und $e$.
Eigenschaften
- Nicht darstellbar als Bruch: Irrationale Zahlen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden.
- Unendliche Dezimaldarstellung: Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.
- Dichte: Zwischen zwei rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen.
Beispiele
- $\sqrt{2}$: Der Wert liegt ungefähr bei 1.4142135..., ohne regelmäßiges Muster.
- $\pi$: Der Wert ist ungefähr 3.14159265..., ebenfalls ohne regelmäßiges Muster.
- $\phi$ (Goldener Schnitt): Der Wert ist ungefähr 1.61803398..., auch ohne regelmäßiges Muster.
Operationen
Addition und Subtraktion:
- Die Summe oder Differenz einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
- Beispiel: $ 1 + \sqrt{2} \approx 2.4142135... $
Multiplikation und Division:
- Das Produkt oder der Quotient einer rationalen und einer irrationalen Zahl (mit Ausnahme von Null) ist irrational.
- Beispiel: $ 2 \times \sqrt{3} \approx 3.4641016... $
Multiplikation von zwei irrationalen Zahlen:
- Kann entweder rational oder irrational sein.
- Beispiel: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (rational), aber $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ (irrational).
Anwendungen
Irrationale Zahlen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik und den Naturwissenschaften, insbesondere in Bereichen wie Geometrie, Analysis und Zahlentheorie. Sie werden verwendet, um Längen, Flächen und andere Größen zu beschreiben, die nicht durch rationale Zahlen exakt dargestellt werden können.
Zusammenfassung
Irrationale Zahlen gehen über die rationalen Zahlen hinaus.