Rationale Zahlen
Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Sie umfassen Brüche, endliche und unendliche periodische Dezimalzahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol $ \mathbb{Q} $ bezeichnet, was vom lateinischen Wort "quotiens" (Quotient) stammt.
Definition
Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die in der Form $\frac{a}{b}$ geschrieben werden kann, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind und $b \neq 0$. Beispiele für rationale Zahlen sind $ \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 5, 0.75, -2.3$.
Eigenschaften
- Darstellung als Bruch: Jede rationale Zahl kann als Bruch $\frac{a}{b}$ (von zwei ganzen Zahlen) dargestellt werden.
- Periodische Dezimaldarstellung: Rationale Zahlen können entweder endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen sein.
- Dichte: Zwischen zwei rationalen Zahlen gibt es immer eine andere rationale Zahl.
Beispiele
- Positive rationale Zahlen: $ \frac{3}{4}, 2, \frac{7}{5} $
- Negative rationale Zahlen: $ -\frac{2}{3}, -1.5, -4 $
Operationen
Addition:
- Die Summe zweier rationaler Zahlen ist eine rationale Zahl.
- Beispiel: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} $
Subtraktion:
- Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist eine rationale Zahl.
- Beispiel: $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $
Multiplikation:
- Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist eine rationale Zahl.
- Beispiel: $ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15} $
Division:
- Der Quotient zweier rationaler Zahlen ist eine rationale Zahl, sofern der Divisor nicht null ist.
- Beispiel: $ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} $
Anwendungen
Rationale Zahlen werden in vielen Bereichen der Mathematik und des täglichen Lebens verwendet, darunter:
- Finanzen: Zinsen und Bruchteile von Beträgen.
- Wissenschaft: Messungen und Verhältnisse.
- Teilen von Ressourcen: Aufteilen von Mengen in gleiche Teile.
Zusammenfassung
Rationale Zahlen sind eine erweiterte Form der ganzen Zahlen.