Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n
7 + 6n ist durch 7 teilbar für jedes n ∈N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
17 + 6 ·1 = 7 Und 7 ist durch sieben teilbar. |
|
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n
7 + 6n ist eine durch 7 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
| |
n7 + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 + 6n + 6 |
|
| |
(n7 + 6n) + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 + 6 |
|
| |
(n7 + 6n) + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n + 1) |
|
Annahmegemäß ist (n
7 +6n) eine durch sieben teilbare Zahl,
der zweite Summand ist als ganzzahliges Vielfache von sieben, durch