Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n7 + 6n ist durch 7 teilbar für jedes n ∈N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
17 + 6 ·1 = 7 Und 7 ist durch sieben teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n7 + 6n ist eine durch 7 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
(n+1)7 + 6 (n+1)
=
n7 + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 + 6n + 6
=
(n7 + 6n) + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 + 6
=
(n7 + 6n) + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n + 1)

Annahmegemäß ist (n7 +6n) eine durch sieben teilbare Zahl, der zweite Summand ist als ganzzahliges Vielfache von sieben, durch sieben teilbar.



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