Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 8 n3 - 2n ist durch 6 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
8 ·13 - 2 ·1 = 6 Und 6 ist durch sechs teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 8 n3 - 2n ist eine durch 6 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
8 (n+1)3 - 2 (n + 1)
=
8 (n3 + 3n2 + 3n + 1) - 2(n - 1)
=
8 n3 + 24 n2 + 24n + 8 - 2n - 2
=
(8n3 - 2n) + (24 n2 + 24 n + 6)
=
(8 n3 - 2n) + 6 (4n2 + 4n + 1)

Annahmegemäß ist (8 n3 - 2n) durch sechs teilbar, der zweite Summand ist als ganzzahliges Vielfache von sechs, durch sechs teilbar.



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