Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 8 n
3 - 2n ist durch 6 teilbar für jedes n ∈ N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
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8 ·13 - 2 ·1 = 6 Und 6 ist durch sechs teilbar. |
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Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 8 n
3 - 2n ist eine durch 6 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
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8 (n3 + 3n2 + 3n + 1) - 2(n - 1) |
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8 n3 + 24 n2 + 24n + 8 - 2n - 2 |
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(8n3 - 2n) + (24 n2 + 24 n + 6) |
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(8 n3 - 2n) + 6 (4n2 + 4n + 1) |
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Annahmegemäß ist (8 n
3 - 2n) durch sechs teilbar,
der zweite Summand ist als ganzzahliges Vielfache von sechs, durch
sechs teilbar.