Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 4n2 - 4n ist durch 8 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
4 ·12 - 4 ·1 = 0 Und 0 ist ohne Rest durch 8 teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 4n2 -4n ist eine durch 8 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
4(n+1)2 - 4(n+1)
=
4n2 + 8n + 4 - 4n + 4
=
(4n2 - 4n) + 8n + 8
=
(4n2 - 4n) + 8(n + 1)

Laut Induktionsveraussetzung ist (4n2 - 4n) durch acht teilbar, und 8(n+1) ist als ganzzahliges Vielfaches von acht, auch durch acht teilbar.



Anzeige