Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 3n
3 - 3n ist durch 9 teilbar für jedes n ∈ N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
3 ·13 - 3 ·1 = 0 Und 0 ist ohne Rest durch 9 teilbar. |
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Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 3n
3 -3n ist eine durch 9 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
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3(n3 + 3n2 + 3n + 1) - 3(n+1) |
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3n3 + 9n2 + 9n + 3 - 3n - 3 |
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Laut Induktionsveraussetzung ist (3n
3 - 3n) durch neun teilbar,
und da der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von neun ist, ist auch er durch neun teilbar.