Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 3n3 - 3n ist durch 9 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
3 ·13 - 3 ·1 = 0 Und 0 ist ohne Rest durch 9 teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 3n3 -3n ist eine durch 9 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
3(n+1)3 - 3(n+1)
=
3(n3 + 3n2 + 3n + 1) - 3(n+1)
=
3n3 + 9n2 + 9n + 3 - 3n - 3
=
(3n3 - 3n) + 9(n2 + n)

Laut Induktionsveraussetzung ist (3n3 - 3n) durch neun teilbar, und da der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von neun ist, ist auch er durch neun teilbar.



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