Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:n
3 - n ist durch 3 teilbar für jedes n ∈ N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
1 - 1 = 0 Und 0 ist durch drei teilbar. |
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Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n
3 - n ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
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n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1 |
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nach IV ist (n
3 - n) durch drei teilbar. Und 3(n
2 + n) ist als ganzzahliges Vielfaches von 3 ebenfalls durch 3 teilbar, und damit ist auch die Summe durch 3 teilbar.