Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:n3 - n ist durch 3 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
1 - 1 = 0 Und 0 ist durch drei teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n3 - n ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
(n + 1)3 - (n + 1)
=
n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1
=
n3 + 3n2 + 2n
=
n3 - n + 3n2 + 3n
=
(n3 - n) + 3(n2 + n)

nach IV ist (n3 - n) durch drei teilbar. Und 3(n2 + n) ist als ganzzahliges Vielfaches von 3 ebenfalls durch 3 teilbar, und damit ist auch die Summe durch 3 teilbar.


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