Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 2n2 + 2n ist durch 4 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
2 ·12 + 2 · = 4 Und 4 ist durch vier teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 2n2 + 2n ist eine durch 4 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
2(n+1)2 + 2(n + 1)
=
2(n2 + 2n + 1) + 2n + 2
=
2n2 + 4n + 2 + 2n + 2
=
(2n2 + 2n) + 4n + 4
=
(2n2 + 2n) + 4(n+1)

nach IV ist (2n2 + 2n) durch vier teilbar. Da der zweite Summand ein Vielfaches von vier ist, ist er auch durch vier teilbar.



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