Aufgabe

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 2n5 + 3n ist durch 5 teilbar für jedes n ∈ N

Lösung

Induktionsanfang: n = 1
2 ·15 + 3 ·1 = 5 Und 5 ist durch fünf teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 2n5 + 3n ist eine durch 5 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
2 (n + 1)5 + 3 (n+1)
=
2 n5 + 10 n4 + 20 n3 + 20 n2 + 10 n + 2 + 3n + 3
=
(2n5 + 3n) + 10 n4 + 20 n3 + 20 n2 + 10 n + 2 + 3
=
(2n5 + 3n) + 5( 2n4 + 4n3 + 4n2 + 2n + 1)

nach IV ist 2n5 + 3n durch fünf teilbar, und der andere Summand ist ein Vielfaches von fünf, also auch durch fünf teilbar.



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