Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: 2n
5 + 3n ist durch 5 teilbar für jedes n ∈ N
Lösung
Induktionsanfang: n = 1
2 ·15 + 3 ·1 = 5 Und 5 ist durch fünf teilbar. |
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Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. 2n
5 + 3n ist eine durch 5 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
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2 n5 + 10 n4 + 20 n3 + 20 n2 + 10 n + 2 + 3n + 3 |
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(2n5 + 3n) + 10 n4 + 20 n3 + 20 n2 + 10 n + 2 + 3 |
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(2n5 + 3n) + 5( 2n4 + 4n3 + 4n2 + 2n + 1) |
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nach IV ist 2n
5 + 3n durch fünf teilbar, und der andere Summand ist
ein Vielfaches von fünf, also auch durch fünf teilbar.