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Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist eine Verhältnisrechnung. Der Begriff Prozent bedeutet von Hundert. Prozente können daher als Hundertstel in der Form eines Bruchs geschrieben werden. Es gibt drei wichtige Größen bei der Prozentrechnung: Der Grundwert G dieser Wert entspricht dabei immer 100%. Der Prozentsatz p, der eine relative Größe in Hundertstel angibt.Der Prozentwert P ist eine absolute Größe.

Der Grundwert G ist dabei die Bezugsgröße, auf den sich der Prozentsatz p bezieht, d.h. der Prozentsatz p beschreibt wie groß der relative Anteil am Grundwert G ist. Der Prozentwert ist die absolute Größe des Anteils (der durch p beschrieben wurde) am Grundwert G.

Wenn zwei dieser Werte bekannt sind, kann man den dritten Wert ausrechnen.
Formel zur Berechnung des Prozentsatz p = P/G = Prozentwert/Grundwert

Formel zur Berechnung des Grundwert G = P/p = Prozentwert/Prozentsatz

Formel zur Berechnung des Prozentwert P = p ·G = Prozentsatz ·Grundwert

Bei den Formeln erkennt man den oben beschrieben Zusammenhang zwischen den einzelnen Größen. Der Prozentsatz p entspricht dem Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert, und gibt dabei das relative Größenverhältnis der beiden an. Wird der Prozentwert ins Verhältnis zum Prozentsatz gesetzt ergibt sich daraus der Grundwert G. Wobei sich der Prozentsatz selbst als absolute Größe des relativen Anteils (Prozentsatz p) am Grundwert G ergibt.

Eine typische falsche Annahmen bei der Prozentrechnung

Eine typische falsche Annahme bei der Prozentrechnung ist, dass wenn ein Wert zuerst um einen bestimmten Prozentsatz erhöht beziehungsweise vermehrt wird und der neue Wert anschließend wieder um diesen bestimmten Prozentsatz vermindert wird, sich wieder der ursprüngliche Wert ergeben würde. Dies ist jedoch nicht der Fall. Um dies zu zeigen wird die Rechnung im folgenden schrittweise durch geführt:

  1. Sei G der ursprüngliche Wert und p der Prozentsatz (p > 0%) um den G erhöht wird.
  2. Nun wird der Prozentwert P bestimmt, das heißt um wie viel G erhöht wird. P = p · G = Prozentsatz · Grundwert
  3. Der neue Wert von G, G* beträgt G* = G + P = G + p· G
  4. Jetzt wird G* um den Prozentsatz p gesenkt.
  5. P* = p · G* (= p · G + p · P)
  6. G** = G^* - P* = G* - (p ·G + p · P)
    G** = (G + p · G) - (p · G + p · P)
    G** = G + p · G - p · G - p · P
    G** = G - p · P
    G** = G - p·p · G
    G** = G - p2 · G
    G** = (1 - p2) · G
Wie man aufgrund der Rechnung sieht ist der Wert den man nach erhöhen und senken erhält (G**) kleiner als der Wert zu Beginn (G) ist.

Hinweis: Auch wenn man die Reihenfolge vertauscht, das heißt zuerst senkt und dann erhöht, erhält man das gleiche Ergebnis.

Am einfachsten ist es sich diesen Zusammenhang an einem Beispiel zu verdeutlichen. Angenommen ein Wert G wird um 100 % gesenkt und anschließend um 100 % erhöht. Das Ergebnis ist das G = 0 ist. Würde der Wert G zuerst um 100 % erhöht und danach um 100 % gesenkt ist der Wert von G ebenfalls wieder gleich 0.